A járványterjedés matematikája

Mi a számsorozat következő tagja: 11, 8, 15, 12, 18, 28, 36, 20, 39? – teszi fel a látszólag egyszerű kérdést Simon Péter professzor. A matematikaórákon ehhez hasonló sorozatokat állítanak össze feladatként a tanárok, ezért soha nem gondoltuk, hogy gyakorlati haszna is lehet ilyen sorozatok szabályán gondolkozni.

„A fenti sorozat a jelenlegi járvány hazai fertőzöttjeinek számát tartalmazza az első néhány napon. Így mindjárt komolyabb tartalmat nyer a szabályok, összefüggések felismerésének készsége” – mondja az ELTE Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszékének tanszékvezető egyetemi tanára.

Nézzük csak meg a következő számsorokat:

• 123, 172, 472, 970, 1424, 1535 - az okostelefon eladások millió darabban 2007-től két évenként
• 623, 907, 1608, 3018, 4448, 6134 - Földünk lakossága millió főben 1700-tól száz évenként
• 650, 150, 90, 54 - egy antibiotikum mennyisége a vérben milligrammban a gyógyszer bevétele után óránként
• 8550, 8640, 8740, 8730, 8750, 8770, 8780 - az OTP részvény árfolyama forintban 2017. március 16-án óránként

Bármelyik előbbi sorozatra igaz, hogy sokan sokat adnának azért, hogy a következő néhány tagját előre meg tudják mondani.

„Iskolai emlékeink alapján azt gondoljuk, hogy pusztán a sorozat számainak hosszas nézegetésével fel lehet ismerni valami misztikus szabályt, amellyel a további tagok kiszámolhatók” – fogalmaz Simon Péter. A matematika azonban ennél összetettebb módszereket dolgozott ki a megoldások megtalálására az elmúlt néhány száz év során.

Európában a XVII. századra érett meg az áttörés a fizikai folyamatok matematikai modellezése terén.

Biztos sokan hallottak Newton almájáról vagy Galilei kísérletéről a pisai ferde toronyban. Ekkor fedezték fel (egyesek szerint inkább kitalálták) a differenciál- és integrálszámítást – összefoglaló néven kalkulust –elsősorban a fizikai folyamatok leírását lehetővé tevő differenciálegyenletek bevezetése céljából. Ezek olyan egyenletek, amelyekben az ismeretlen nem egy szám, hanem egy függvény, például a toronyból leejtett tárgy helye az idő függvényében, vagy a Föld pályája a Nap körül, hogy az előbbi két tudós kutatásaihoz kapcsolódjunk. A bevezetésben említett számsorok megfejtése differenciálegyenleteken alapszik.

Egy XX. század elején kidolgozott modell az egyedeket néhány csoportra osztja a fertőzés állapota szerint. A legegyszerűbb modell három csoportot különböztet meg:

• fogékonyak (jele: S, az angol susceptible szóból),
• fertőzők (I, infectious),
• gyógyultak (R, recovered vagy removed).

A járvány terjedése előtt az összes egyed fogékony, és a járvány néhány fertőző egyed megjelenésével kezdődik. A kérdés, hogy egy későbbi időpontban mennyi a fertőzöttek száma. Ekkor kerül a képbe a differenciálegyenlet, amely a folyamatot modellezi, azaz összefüggést ad az S, I és R megváltozása és ezek aktuális értéke között.

Az alábbi képen a 2016-os hazai influenza járvány adatai látszanak (piros körökkel), valamint a modellből kapott (közelítő) görbe. A vízszintes tengelyen az idő látszik napban a járvány januári indulásától számolva, a függőleges tengelyen pedig a fertőzöttek száma 100 ezer főre vetítve (tehát a teljes hazai népességben ez a szám százszor ekkora). Bár az influenzajárvány ellen van védőoltás, valamint annak folyamán ritkán alakul ki a COVID-19 járványhoz hasonló intenzív ellátási igény, a terjedés alapvető törvényszerűségei hasonlóak a két esetben.

A modell valamennyire jó közelítést ad a járvány folyamatáról, de láthatjuk, hogy nem tud minden adatot pontosan visszaadni. Megfigyelhető, hogy a fertőzöttek száma emelkedik egy darabig, majd csökkenni kezd, és körülbelül 20 hét alatt a járvány véget ért. Az R értékét is ábrázolva láthatjuk, hányan estek át a betegségen a járvány teljes lefolyása során. Erre itt nagyjából 18 ezret kapunk az említett 100 ezer főre vetítve, azaz nagyjából a lakosság hatodrésze esett át abban az évben az influenzán.

A fenti modell az első hetekben nagyobb fertőzöttséget jelez, mint az adatok. Másképp nézve, ha valaki ez első néhány hét adatai alapján határozná meg a modell paramétereit, akkor kisebb járványt jósolna. Ez arra sarkallja az epidemiológiai szakembereket és a matematikusokat, hogy pontosabb modellt készítsenek. A pontosabb modell rendszerint több csoportra osztja a társadalmat, például korosztályokat hoz létre az S, I és R kategóriákon belül, vagy terület szerint is felbontja a teljes populációt kisebb részekre.

Ezek a modellek már több egyenletből állnak – ezért tudnak pontosabb előrejelzést adni –, viszont emiatt több paramétert is tartalmaznak, amelyeket az adatokból nem könnyű pontosan meghatározni. A legrészletesebb modell a társadalom minden egyes tagját külön kezeli, és valamilyen módon az emberek közötti kapcsolatokat is figyelembe veszi, ezért hálózati modellnek is nevezik, és a hálózattudomány modern eszköztárán alapszik.

A jelenlegi járvány modellezésére már számtalan variáció született, és sokan sokféle módon próbálják előre jelezni a lefolyását, valamint segíteni a döntéshozókat. Amíg a védőoltás nem elérhető, addig a védekezés stratégiája a járványgörbe úgynevezett ellaposítása. A cél tehát, hogy a fenti görbe maximuma ne érjen el olyan nagy értéket, amely túlterheli az egészségügyi ellátórendszert.

A görbét a modellben szereplő paraméterek módosításával tudjuk befolyásolni.

Az egyik fontos paraméter azt adja meg, hogy egy fertőzött hány másiknak adja tovább a fertőzést, ezt igyekeznek a hatóságok a korlátozásokkal csökkenteni. Természetesen az összetett modellekben ez nem az egyetlen paraméter, hiszen a paraméterek különbözhetnek korosztályonként és területenként, de akár munkahelyenként is.

A mostani kutatások tárgya éppen az, hogy ezek a modellek mennyire illeszkednek jól az adatokhoz, és a folyamat irányításában hogyan használhatók, milyen korlátozások bevezetését mutatják leghatékonyabbnak. Ezeken felül, ha az oltóanyag elkészül, akkor annak eldöntésében is segítenek, hogy a társadalom mely csoportjait milyen sorrendben célszerű beoltani, hogy minél hamarabb visszatérhessen az élet a megszokott kerékvágásba. A kérdések látszólag egyszerűek, azonban az egyre összetetteb modellek létrehozása és vizsgálata számos kutatónak jelent kihívást.

Forrás: ELTE TTK